अवकल समीकरण

गणितमे ऊ समीकरणके अवकल समीकरण (differential equation) कहल जा हे जेकरामे एक या एकसे अधिक फलन आउ उनकर अवकलज होवे ।^[१]

अवकल समीकरण (differential equation) ऊसब सम्बन्धके कहल जा हे जेकरामे स्वतन्त्र चर आउ अज्ञात परतन्त्र चरके साथे-साथे ऊ परतन्त्र चरके एक या अधिक अवकल गुणाङ्क (Differential coefficient) होवे ।

F\left(x,y,Dy,D^{2}y,\ldots ,D^{n}y\right)=0

एक अवकल समीकरणके सामान्य रूप हे ।

यदि एकरामे एक परतन्त्र चर आउ एके स्वतन्त्र चरो होवे त सम्बन्धके साधारण (ordinary) अवकल समीकरण कहल जा हे । जखनि परतन्त्र चल त एक किन्तु स्वतन्त्र चर अनेक होवे त परतन्त्र चरके खण्डावकल गुणक (partial differentials) होवहे । जखनि ई उपस्थित रहहे तखनि सम्बन्धके आंशिक (partial) अवकल समीकरण कहल जा हे । परतन्त्र चरके स्वतन्त्र चरके पर्दोमे व्यञ्जित करेके अवकल समीकरणके हल कैल कहल जा हे ।

यदि अवकल समीकरणमे nमा कक्षा (order) के अवकल गुणक होवे आउ अधिकके नै, त अवकल समीकरण nमा कक्षाके कहला हे । उच्चतम कक्षाके अवकल गुणकके घाते (power) अवकल समीकरणके घात कहला हे । घात ज्ञात करेके पहिले समीकरणके भिन्न आउ करणी चिन्हसे ई प्रकार मुक्त कर लेवेके चाही कि ओकरामे अवकल गुणक पर कौनो भिन्नात्मक घात नै होवे ।

अवकल समीकरणके अनुकलन सरल नै हे । अखनि तक प्रथम कक्षाके ऊ अवकल समीकरणो पूर्ण रूपसे हल नै हो पाएल हे । कुछ अवस्थामे अनुकलन सम्भव हे, जिनकर ज्ञान ई विषयके भिन्न-भिन्न पुस्तकसे प्राप्त हो सकहे । अनुकलन करेके विधि साङ्केतिक रूपमे हियाँ देल जा हे ।

प्रयुक्त गणित, भौतिक विज्ञान आउ विज्ञानके अन्य शाखामे भौतिक राशिके समय, स्थान, ताप इत्यादि स्वतन्त्र चलके फलनमे तुरत प्रकट कैत प्रायः कठिन हो जा हे । किन्तु हमनी उनकर वृद्धिके दर आउ ओकर अवकल गुणकमे कौनो सम्बन्ध बहुधा बड्ड सुगमतासे पा सकही । ई प्रकार ऐसन अवकल समीकरण प्राप्त होवहे जेकरा पूर्वोक्त राशि सन्तुष्ट करहे । एहीसब हल कैल ऊसब राशिके ज्ञान प्राप्त करेला आवश्यक होवहे । एहीसे विज्ञानके उन्नति बड्डी अंश तक अवकल समीकरणके प्रगति पर निर्भर हे ।

कुछ प्रसिद्ध अवकल समीकरण

गतिविज्ञानमे न्यूटनके द्वितीय नियम
क्लासिकल बलविज्ञानमे हैमिल्टनके समीकरण (Hamilton's equations)
रेडियोसक्रिय क्षरण (Radioactive decay) - नाभिकीय भौतिकशास्त्रमे
न्यूटनके शीतलनके नियम (Newton's law of cooling) -- तापगतिकीमे
तरङ्ग समीकरण
मैक्सवेलके समीकरण -- विद्युत चुम्बकत्वमे
ऊष्मा समीकरण (heat equation) -- तापगतिकीमे
लाप्लासके समीकरण (Laplace's equation)
प्वास समीकरण (Poisson's equation)
Einstein's field equation in सामान्य सापेक्षिकता
श्रोडिङ्गर समीकरण (Schrödinger equation) -- क्वाण्टम बलविज्ञान
geodesic equation
नेवियर-स्टोक्स समीकरण (Navier-Stokes equations) -- द्रव गतिकीमे
Lotka-Volterra equation in population dynamics
Black-Scholes equation in finance
कौशी-रीमान समीकरण (Cauchy-Riemann equations]] -- समिश्र विश्लेषण (complex analysis) मे
प्वासों-बोल्ल्ट्समान समीकरण (Poisson-Boltzmann equation) -- अणु गतिकीमे
shallow water equations

अवकल समीकरणके वर्गीकरण

अवकल समीकरणके वर्गीकरण ढेर प्रकारसे कर सकही-

(१) ऑर्डर के आधार पर - प्रथम ऑर्डर, द्वितीय ऑर्डर आदि ।

(२) डिग्री के आधार पर - प्रथम डिग्री, द्वितीय डिग्री आदि

(३) रैखिक अवकल समीकरण आउ अरैखिक अवकल समीकरण

अवकल समीकरण	महत्वपूर्ण पद	ऑर्डर	डिग्री
${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}$	${\frac {du}{dx}}$	1	1
${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x({\frac {du}{dx}})^{3}+u=0$	${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$	2	1
: $({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}})^{2}+\omega ^{2}u=0$	$({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}})^{2}$	2	2
${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}$	${\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}$	3	1