आव्यूह

आव्यूहके संरचना

गणितमे आव्यूह (Matrixcode: en is deprecated , मेट्रिक्स) एक अदिश राशिसे निर्मित आयताकार रचना हे । ई आयताकार रचना लघु कोष्ठक "()", दोहरा दण्ड "|| ||" अथवा दीर्घ कोष्ठक "[ ]" के भीतरे बन्द होवहे । एकरामे सङ्ख्याके एक विशेष प्रकारके विन्यास कैल जाहे, अतः एकरा आव्यूह, या मेट्रिक्सके सञ्ज्ञा देल गेल हे । मेट्रिक्सके अवयव सङ्ख्या होवहे किन्तु ई ऐसन कौनो अमूर्त वस्तु हो सकहे जेकर गुणा कैल जा सके एवं जेकरा जोड़ल जा सके ।

परिभाषा

सर्वप्रथम सिल्वेस्टर (१८५० ई) आव्यूहके ई परिभाषा देलन हल कि सङ्ख्याके कौनो आयताकार या वर्गाकार सरणीके, जेकरामे से सारणिक (determinants) बन सके, आव्यूह कहल जाहे । आधुनिक समयमे आव्यूहके एक अतिसम्मिश्र (hypercomplex) सङ्ख्याके रूपमे मानहथ । ई दृष्टिकोणके प्रवर्तक हथ मिल्टन (१८५३ ई) आउ केली (१८५८ ई) ।

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}$

आकार

नाम =!:'[light Color. Green'green:light ]	! आकार	उदाहरण	विवरण
पङ्क्ति आव्यूह	1 × n	${\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}$	एकरामे ऐसन आव्यूह आवहे, जेकरामे खाली एके पङ्क्ति होवहे ।
स्तम्भ आव्यूह	n × 1	${\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}$	एकरामे ऐसन आव्यूह आवहे, जेकरामे खाली एके स्तम्भ होवहे ।
वर्ग आव्यूह	n × n	${\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}$	एकरामे ऐसन आव्यूह आवहे, जेकरामे एकसे अधिक पङ्क्ति आउ स्तम्भ होवहे । अथवा एकरामे स्तम्भ एवं पङ्क्तिके सङ्ख्या समान होवहे । एकरा कुछ स्थितिमे अदिश आव्यूह, शून्य आव्यूह त्रिभुजीय आव्यूहो कहल जाहे ।

सङ्केत चिन्ह

कौनो आव्यूहके लिखैत खन्नि ओकरा कोष्ठकमे लिखल जाहे ।

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}=\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}$

मुख्यतः आव्यूहके "A" से दर्शावल जाहे । ओहैँ a₁₁ या a_1,1 से पङ्क्ति आउ स्तम्भके मानके देखावल जाहे । ऊपरे देल उदाहरणमे a₁₁ पहिल पङ्क्तिमे आउ पहिल स्तम्भमे हे । ई कारण एकरा 1,1 लिखके दर्शावल गेलहे । ओहैँ एही प्रकारसे a₁₂ या a_1,2 पहिल पङ्क्तिमे हे आउ दोसर स्तम्भमे हे । दोसर स्तम्भमे होवेके कारण अन्तमे 2 लिखल हे । पङ्क्तिके सभ मानके m आउ स्तम्भके सभ मानके n से दर्शावल जाहे ।

रैखिक परिवर्तन

क्षैतिज कतरनी m=1.25.	क्षैतिज व्यवस्था	दबाव मानचित्रण r=3/2	प्रक्षेपित 3/2	परिक्रमण π/6R = 30°
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{R})&-\sin(\pi /6^{R})\\\sin(\pi /6^{R})&\cos(\pi /6^{R})\end{bmatrix}}$

इतिहास

आव्यूहके बड्डी लम्बा इतिहास हे, किन्तु रेखीय गणना लागि एकर प्रयोग वर्ष १८०० के बादे शुरू हो पाएल । चीनी पाठ्य "गणित कलाके नौ अध्याय" दोसरी शताब्दीमे लिखल एकर पहिला उदाहरण हल । जेकरामे एकरा एक प्रकारके व्यूह संरचनाके रूपमे हल कैल गेलहल । एकर बाद वर्ष १५४५ मे इतालीके गणितज्ञ गिरोलामो कार्डनो ई विधिके चीनसे लेके यूरोपमे अर्स मेग्ना के नामसे प्रकाशित कैलक । जापानके गणितज्ञ सेकियो ई प्रकारके विधिसे वर्ष १६८३ मे ढेर गणितीय समीकरण हल कैलन । एकर बाद डच गणितज्ञ जेन डे विट्ट एकर एक परिवर्तित रूप १६५९ मे एक पुस्तकमे प्रकाशित कैलन ।

इहो देखी

• व्यूहके सूची
• सारणिक

बाहरी कड़ी

• आव्युह वियोजन (matrix decomposition) (गणिताञ्जलि)