कलन

कलन
मूलभूत प्रमेय फलनके सीमा निरन्तरता माध्यमान प्रमेय रॉल प्रमेय
अन्तर कलन अवकलज चरके परिवर्तन अन्तर्निहित विभेदन टेलर प्रमेय सम्बन्धित दर अवकलजके सूची घात नियम गुणनके नियम भागके नियम शृङ्खला नियम
समाकलन समाकल समाकल सूची अनन्त समाकल समाकलन भागसे चक्र cylindrical shells प्रतिस्थापनसे त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन आंशिक भिन्न changing order
सदिश कलन प्रवणता डाइवर्जेन्स (अपसरण) कर्ल लाप्लास सङ्कारक प्रवणता प्रमेय ग्रीन प्रमेय स्टॉक प्रमेय अपसरण प्रमेय
बहुचर कलन मेट्रिक्स कलन आंशिक अवकलज गुणित समाकल रेखा समाकलन पृष्ठ समाकल आयतन समाकल जेकोबियन

कलन (Calculus) गणितके प्रमुख क्षेत्र हे जेकरामे राशिके परिवर्तनके गणितीय अध्ययन कैल जाहे । एकर दु मुख्य शाखा हे - अवकल गणित (डिफरेन्शियल कल्कुलस) एवं समाकलन गणित (इटीग्रल कलकुलस) । कलनके ई दुनो शाखा कलनके मूलभूत प्रमेय द्वारा परस्पर सम्बन्धित हे । वर्तमान समयमे विज्ञान, अभियान्त्रिकी, अर्थशास्त्र आदिके क्षेत्रमे कलनके प्रयोग कैल जाहे ।

बाबुल, मिस्र, यूनान, चीन, इस्लामी विॆश्व आउ भारतमे कलनके ढेर विचार विकसित कैल गेलहल । किन्तु परम्परागत रूपसे एही मान्यता हे कि कलनके प्रयोग १७मा शताब्दीके उत्तरार्धमे आरम्भ भेल एवं आइजक न्यूटन आउ लेब्नीज एकर जनक हलन ।

समाकलन

समाकलनके कौनो वक्र f(x), x-अक्ष, x=a एवं x=b के बीचके क्षेत्रफलके मापनके रूपमे बुझल जा सकहे ।

समाकलन (Integral Calculus) एक विशेष प्रकारके योग क्रिया हे जेकरामे अति-सूक्ष्म मान वाला (किन्तु गिनतीमे अत्यधिक, अनन्त) सङ्ख्याके जोड़ल जाहे । कौनो फलनके ग्राफ द्वारा बनल वक्र एवं x-अक्ष के बीचके क्षेत्रफल निकालेला समाकलनके प्रयोग करे पड़हे ।

अवकलन

अवकलन (Differential Calculus) कौनो एक राशिके कौनो अन्य राशिके सापेक्ष तात्कालिक बदलावके दरके अध्ययन करहे । ई दरके 'अवकलज' (Derivative) कहल जाहे ।

कौनो फलनके कौनो चर राशिके साथे बढ़ेके दरके नापहे । जैसे यदि कौनो फलन y कौनो चर राशि x पर निर्भर हे आउ x के मान x1 से x2 करेपर y के मान y1 से y2 हो जाहे त (y2 - y1)/(x2 - x1) के y के x के सन्दर्भमे अवकलज कहल जाहे । एकरा dy/dx से निरूपित कैल जाहे । ध्यान रहे कि परिवर्तन (x2 - x1) सूक्ष्मसे सूक्ष्मतम (tend to zero) होवेके चाही । एहीला सीमा (limit) के अवकलनमे बड़ी महत्वपूर्ण स्थान हे । कौनो वक्र (curve) के कौनो बिन्दु पर प्रवणता (slope) जानेला ऊ बिन्दु पर अवकलजके गणना करे पड़हे ।

अर्थात्

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}$

मानी f(x) = x²

एक फलन हे जेकर अवकल नीचे देखावल गेलहे -

उदाहरण

${\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6.\end{aligned}}$

कलनके मूलभूत प्रमेय

'समाकलन आउ अवकलन एक दोसराके व्युत्क्रम क्रिया हे' - ई कथनके पुष्टि करेवाला दु प्रमेयके कलनके मूलभूत प्रमेय कहल जाहे । ईसभ प्रमेयके खोज न्यूटन एवं लेइब्नित्ज कैलन हल ।

उपयोग

कलनके उपयोग सभ भौतिक विज्ञान, इञ्जीनियरी, सङ्गणक विज्ञान, साङ्ख्यिकी, अर्थशास्त्र, वाणिज्य, आयुर्विज्ञान, एवं अन्यान्य क्षेत्रमे होवहे । जन्नहुँ कौनो डिजाइन समस्याके गणितीय मॉडल बनावल जा सकहे आउ इष्टतम (optimal) हल प्राप्त करेला होवे, कलनके प्रयोग कैल जाहे । कलनके सहायतासे हमनी परिवर्तनके अनियत चर दरोके (non-constant rates) लेके आसानीसे आगे बढ़ पावही ।

इहो देखी

• अवकल ज्यामिति
• कलनके मूलभूत प्रमेय
• सदिश कैलकुलस
• गणितीय विश्लेषण
• अवकल समीकरण
• अवकलजके सूची (List of Derivatives)
• समाकलजके सूची (List of Integrals)
• कलनके इतिहास
• केरलीय गणित सम्प्रदाय

बाहरी कड़ी

• भारतमे गणितके इतिहास