काल्पनिक सङ्ख्या

$\ldots$ (नील रङ्गसे छायाङ्कित प्रतिरूपके पुनराव र्ती)

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$i^{5}=i$

$i^{6}=-1$

$i^{n}=i^{n{\pmod {4}}}$ (मॉड्युलर देखी)

एक काल्पनिक सङ्ख्या एक सङ्ख्या हे जेकरा वास्तविक सङ्ख्याके काल्पनिक इकाई $i$ गुणाके रूपमे लिखल जाहे, जे एकर गुणधर्म $i^{2}=-1$ द्वारा परिभाषित कैलक हे । एक काल्पनिक सङ्ख्याके वर्ग शून्य अथवा ऋणात्मक होवहे । उदाहरणला $5i$ एक काल्पनिक सङ्ख्या हे जेकर वर्ग $-25$ हे ।

काल्पनिक सङ्ख्या $bi$ के एक वास्तविक सङ्ख्या $a$ मे जोड़ेपर समिश्र सङ्ख्या $a+bi$ प्राप्त होवहे, जन्ने $a$ आउ $b$ सम्मिश्र सङ्ख्याके क्रमशः वास्तविक भाग आउ काल्पनिक भाग हे । अतः काल्पनिक सङ्ख्या ऊ सम्मिश्र सङ्ख्योके कहल जा सकहे जेकर वास्तविक भाग शून्य हे ।

इतिहास

सम्मिश्र तलके एक उदाहरण । काल्पनिक सङ्ख्या उर्ध्व निर्देशाङ्क अक्ष पर रखल जाहे ।

यद्यपि यूनानी गणितज्ञ आउ अभियन्ता अलेक्जेण्ड्रियाके हीरो सर्वप्रथम ई सङ्ख्या प्राप्त करेमे सफलता प्राप्त कैलन,। काल्पनिक सङ्ख्याके व्यापक रूपसे स्वीकृति आइलर (1707–1783) आउ गौस (1777–1855) के कार्यके भेटल । सम्मिश्र सङ्ख्याके समतलके बिन्दु द्वारा ज्यामितिय सार्थकता सर्वप्रथम केस्पर वेस्सेल (1745–1818) वर्णित कैलन ।

ज्यामितिय विवेचन

सम्मिश्र तलमे ९०-डिग्री घूर्णन

ज्यामितीय रूपसे काल्पनिक सङ्ख्या सम्मिश्र तलके उर्ध्व अक्ष पर रखल जाहे ।

काल्पनिक सङ्ख्याके अनुप्रयोग

काल्पनिक सङ्ख्याके महत्व सम्मिश्र सङ्ख्यासे अवास्तविक सङ्ख्याके निर्माणसे आरम्भ होवहे जे वैज्ञानिक आउ सम्बन्धित क्षेत्र जैसे सङ्केत प्रसंस्करण, नियन्त्रण सिद्धान्त, विद्युतचुम्बकत्व, तरल गतिकी, प्रमात्रा यान्त्रिकी, मानचित्रकला आउ स्पन्दन विश्लेषणला आवश्यक सामग्री हे ।

गुणा आउ वर्गमूल

ऋणात्मक सङ्ख्याके वर्गमूलके गुणलफलके ध्यानपूर्वक करेके चाही । उदाहरणला निम्न विधि गलत हे:

$i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$

तर्कदोष ई है कि गणितमे ${\sqrt {x}}{\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$, लिखल जाहे जन्ने वर्गमूलके मुख्य मान दृष्टान्त तखनि होवहे जखनि x आउ y दुनो सङ्ख्यामे से कमसे कम एक सङ्ख्या धनात्मक हे, हियाँ ई स्थिति नै हे ।

इहो देखी

• डी मायवरके प्रमेय
• NaN (एक सङ्ख्या नै)
• इकाईके मूल

ग्रन्थ सूची

• Nahin, Paul (1998), An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1, Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1, explains many applications of imaginary expressions.

बाहरी कड़ी

• How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
• In our time: काल्पनिक संख्या (Imaginary numbers) - काल्पनिक सङ्ख्या पर बीबीसी रेडियो 4 पर चर्चा ।
• 5नम्बर प्रोग्राम 4 बीबीसी 4 प्रोग्राम