त्रिकोणमितीय फलन

त्रिकोणमिति
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Reference
सर्वसमिका सटीक स्थिराङ्क त्रिकोणमितीय तालिका
नियम आउ प्रमेय
ज्या नियम कोज्या नियम स्पर्शज्या नियम व्युस्पर्शज्या नियम पायथोगोरस प्रमेय
कलन
त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन फलनके समाकलन फलनके व्युत्पन्न व्युत्क्रम फलनके समाकलन

गणितमे त्रिकोणमितीय फलन (trigonometric functions) वा 'वृत्तीय फलन' (circular functions) कोणके फलन हे । ई त्रिभुजके अध्ययनमे एवं आवर्ती सङ्घटना (periodic phenomena) के मॉडलन एवं अन्य अनेकानेक जगह प्रयुक्त होवहे ।

ज्या (sine), कोज्या (कोज) (cosine) एवं स्पर्शज्या (स्पर) (tangent) सबसे महत्वके त्रिकोणमितीय फलन हे । ईकाई त्रिज्या वाला मानक वृत्तके सन्दर्भमे ईफलन सामनेके चित्रमे प्रदर्शित हे । ई तीनो फलनके व्युत्क्रम फलनके क्रमशः व्युज्या (व्युज) (cosecant), व्युकोज्या (व्युक) (secant) एवं व्युस्पर्शज्या (व्युस) (cotangent) कहल जाहे ।

समकोण त्रिभुज परा आधारित परिभाषा

समकोण त्रिभुजमे विकर्ण, कोणके संलग्न भुजा एवं कोणके सामनेके भुजा

सङ्केत

सामने = कोण सामनेके भुजाके लम्बाई
संलग्न = कोणसे संलग्न (लगल) भुजाके लम्बाई
कर्ण = समकोण त्रिभुजके विकर्ण

$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.$

$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.$

$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}.$

कुछ विशिष्ट कोणके त्रिकोणमित्तिय फलनके मान

फलन	$0\ (0^{\circ })$	${\frac {\pi }{12}}\ (15^{\circ })$	${\frac {\pi }{6}}\ (30^{\circ })$	${\frac {\pi }{4}}\ (45^{\circ })$	${\frac {\pi }{3}}\ (60^{\circ })$	${\frac {5\pi }{12}}\ (75^{\circ })$	${\frac {\pi }{2}}\ (90^{\circ })$
ज्या	$0$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	$1$
कोज्या	$1$	${\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$	$0$
स्पर्शज्या	$0$	$2-{\sqrt {3}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$2+{\sqrt {3}}$	अपरिभाषित
व्युस्पर्शज्या	अपरिभाषित	$2+{\sqrt {3}}$	${\sqrt {3}}$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$2-{\sqrt {3}}$	$0$
व्युकोज्या	$1$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {2}}$	$2$	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	अपरिभाषित
व्युज्या	अपरिभाषित	${\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}$	$2$	${\sqrt {2}}$	${\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}$	${\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}$	$1$

निम्नलिखित सारणीमे ई देखावल गेलहे कि चारो चतुर्थांशके कोणला त्रिकोणमितीय फलनके चिह्न का होवहे ।

चतुर्थांश (Quadrant)	ज्या एवं व्युज्या	कोज्या एवं व्युकोज्या	स्पर्शज्या एवं व्युस्पर्शज्या
I	+	+	+
II	+	−	−
III	−	−	+
IV	−	+	−

ग्राफ

ज्या (sine), कोज्या (cosine) आउ स्पर्शज्या (tangent) फलनके ग्राफीय निरूपण

परस्पर सम्बन्ध

त्रिकोणमितीय फलन निम्नलिखित तालिकामे देल गेल सम्बन्ध द्वारा परस्पर बदलल जा सकहे -

	ज्या	कोज्या	स्पर्शज्या	व्युस्पर्शज्या	व्युकोज्या	व्युज्या
ज्या (x)	$\,\sin(x)$	${\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}$	${\frac {\tan(x)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}$	${\frac {1}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}{\sec(x)}}$	${\frac {1}{\csc(x)}}$
कोज (x)	$\,{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}$	$\,\cos(x)$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {\cot(x)}{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}}$	$\,{\frac {1}{\sec(x)}}$	$\,{\frac {\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}{\csc(x)}}$
स्पर (x)	$\,{\frac {\sin(x)}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}{\cos(x)}}$	$\,\tan(x)$	$\,{\frac {1}{\cot(x)}}$	$\,{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}$
व्युस (x)	$\,{\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}{\sin(x)}}$	$\,{\frac {\cos(x)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {1}{\tan(x)}}$	$\,\cot(x)$	$\,{\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$	$\,{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}$
व्युक (x)	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {1}{\cos(x)}}$	$\,{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}$	$\,{\frac {\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}{\cot(x)}}$	$\,\sec(x)$	$\,{\frac {\csc(x)}{\sqrt {\csc ^{2}(x)-1}}}$
व्युज (x)	$\,{\frac {1}{\sin(x)}}$	$\,{\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}}$	$\,{\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}{\tan(x)}}$	$\,{\sqrt {\cot ^{2}(x)+1}}$	$\,{\frac {\sec(x)}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$	$\,\csc(x)$

त्रिकोणमितीय फलनके अनन्त श्रेणीके रूपमे विस्तार

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{+\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},$

त्रिकोणमितीय फलनके इतिहास

आर्यभटके सूर्यसिद्धान्तमे 'ज्या' एवं 'कोटिज्या' के प्रयोग भेलहे जे क्रमशः sine आउ cosine के समानार्थी हे । भारतसे ई ज्ञान अरब भिजुन गेल आउ फिर यूरोप गेल ।

आज प्रयोग कैल जायेवाला सभ छौ त्रिकोणमितीय फलन ९मा शताब्दी तक इस्लामी गणितमे प्रयोग होवे लगल हल । अल-ख्वारिज्मी ज्या, कोज्या आउ स्पर्शज्याके सारणी बनौलन हल ।

सङ्गमग्रामके माधव पन्द्रहमा शताब्दीके आरम्भमे त्रिकोणमितीय फलनके अध्ययन श्रेणीके रूपमे कैलन हे ।

इहो देखी

• प्रतिलोम त्रिकोणीमितीय फलन या प्रतिलोम वृत्तीय फलन (Inverse trigonometric functions)
• हाइपरबोलिक फलन
• ज्या, कोटिज्या आउ उत्क्रमज्याके इतिहास

बाहरी कड़ी

• Visionlearning Module on Wave Mathematics
• GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
• Dave's draggable diagram. (Requires java browser plugin)