प्रवणता

नील तीर द्वारा दर्शावल गेल प्रवणता - कौनो अदिश फलनके सबसे बड़ परिवर्तनके गति आउ दिशाके दर्शावहे । ई चित्रमे फलनके मानके ग्रे-स्केलमे दर्शावल गेल हे जेकरामे उज्जर (सबसे कम) आउ करिया (सबसे अधिक) के निरुपित करहे ।

प्रवणता (gradient; ग्रेडिएण्ट्), सदिश कलन (भेक्टर कल्कुलस)मे कौनो एकल-मान वाला अदिश अवकलनीय फलन $f$ के एक सदिश राशि होवहे जेकर दिशा, ऊ दिशा हे जेकरामे ई फलनके परिवर्तनके गति सबसे अधिक होवे । परिवर्तनके सर्वाधिक गतिके माने ई सदिशके परिमाण होवहे । गणितमे एकरा $\nabla f$ द्वारा अभिव्यक्त कैल जा हे जेकरा ग्रेड एफ पढ़ल जा हे ।

परिभाषा

कार्तीय निर्देशाङ्कमे

त्रिविम कार्तीय निर्देशाङ्क प्रणालीमे प्रवणता निम्नलिखित रूपमे पारिभाषित कैल जा हे -

$$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,$$

जन्ने, i

, j

, k

क्रमशः x

, y

एवं z

दिशामे इकाई सदिश हे । उदाहरणला निम्नलिखित फलन

$$f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)$$ के प्रवणता ई है- $$\nabla f(x,y,z)=2\mathbf {i} +6y\mathbf {j} -\cos(z)\mathbf {k} .$$ या $$\nabla f(x,y,z)={\begin{bmatrix}2\\6y\\-\cos z\end{bmatrix}}.$$

बेलनी एवं गोलीय निर्देशाङ्कमे

बेलनी निर्देशाङ्क प्रणाली (cylindrical coordinate system) मे प्रवणताके मान निम्नलिखित होत-

$$\nabla f(\rho ,\varphi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z},$$

जन्ने ρ

अक्षीय दूरी हे, φ

एजिमुथ कोण (azimuthal angle) हे, z

अक्षीय निर्देशाङ्क हे, एवं eρ

, e_φ

and ez

क्रमशः ईसब दिशामे इकाई सदिश हे । 

गोलीय निर्देशाङ्क प्रणालीमे प्रवणताके मान निम्नलिखित हे:

$$\nabla f(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi },$$

जन्ने r

त्रिज्यीय दूरी हे, φ

एजिमुथल कोण हे आउ θ

ध्रुवीय कोण हे । er

, e_θ

एवं eφ

निर्देशाङ्क दिशाके दिशामे स्थित इकाई सदिश हे ।

इहो देखी

• ताप प्रवणता