फलन

X के कौनो सदस्यके Y के केवल एक सदस्यसे सम्बन्ध होवे त ऊ फलन हे अन्यथा न । Y' के कुछ सदस्यके X के कौनो सदस्यसे सम्बन्ध नहियो होवे पर फलन परिभाषित हे ।

गणितमे जखनि कौनो राशिके मान कौनो एक या एकाधिक राशिके मान पर निर्भर करहे त ई सङ्कल्पनाके व्यक्त करेला फलन शब्दके प्रयोग कैल जाहे । उदाहरण लागि कौनो ऋण पर चक्रवृद्धि ब्याजके राशि मूलधन, समय एवं ब्याजके दर पर निर्भर करहे; एहिसे गणितके भाषामे कह सकही कि चक्रवृद्धि ब्याज, मूलधन, ब्याजके दर आउ समयके फलन हे ।

स्पष्ट हे कि कौनो फलनके साथे दु प्रकारके राशि सम्बन्धित होवहे -

• एक ऊ जिनखर मान ज्ञात होवहे, या देल गेल होवहे - इनका स्वतन्त्र चर, argument या इन्पुट कहल जाहे;
• दोसर ऊ जेकर मानके गणना करेला होवहे, या जेकर मान निकालेला होवहे -परतन्त्र चर, फलनके मान या आउटपुट कहल जाहे ।

चर राशिके एक देल मानला फलनके एक आउ खाली एक मान होवहे ।

फलनके सङ्कल्पना (कान्सेप्ट) गणितके सबसे मूल एवं महत्वपूर्ण सङ्कल्पनामे से एक हे । फलनके सङ्कल्पनाके विकास एकाएक नै भेल बल्कि एकर विकास कौनो दु सौ वर्षमे धीरे-धीरे भेलै आउ अखनियो जारी हे । दु राशिके सम्बन्ध देखावैत एक सूची, एक सूत्र (फार्मूला) आउ एल्गोरिद्म आदि फलनके कुछ उदाहरण हे ।

फलन के औपचारिक परिभाषा कार्तीय गुणन (Cartesian product) के आधार पर देल जाहे ताकि कौनो प्रकारके अनिश्चितता या सन्दिग्धता न रहे ।

दु समुच्चय X आउ Y के कार्तीय गुणन सभ क्रमित युग्म (x, y) के समुच्चय हे, जन्ने x सदस्य हे X के, एवं y सदस्य हे Y के । x आउ y के 'क्रमित युग्मके अवयव' कहल जाहे । X आउ Y के कार्तीय गुणनके X × Y द्वारा निरूपित कैल जाेह ।

X से Y पर फलन f कार्तीय गुणनफल X × Y के उपसमुच्चय हे, बशर्ते निम्नलिखित शर्तके पालन होवहे

X के प्रत्येक अवयव उपसमुच्चयके एक आउ खाली एक क्रमित युग्मके प्रथम अवयव हे ।

दोसर शब्दमे X के प्रत्येक अवयव x लागि खाली एक अवयव y ऐसन हे कि क्रमित युग्म (x, y) फलन f के पारिभाषित करेवाला उपसमुच्चयके सदस्य हे ।

फलनके निरूपण

फलनके ग्राफीय निरूपण
${\begin{aligned}&\scriptstyle f\colon [-1,1.5]\to [-1,1.5]\\&\textstyle x\mapsto {\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}$

फलनके भिन्न-भिन्न विधिसे निरूपित (व्यक्त) कैल जाहे । एकरामे से कुछ विधि ई प्रकार हे:

(१) पदके रूपमे

$x^{2}$

(२) समीकरणके रूपमे

$f(x)=x^{2}$

(३) गणना-विधिके रूपमे

$x\mapsto x^{2}$

(४) मानके तालिका के रूपमे

$x$	1	2	3	4	5	6	…
$y$	1	4	9	16	25	36	…

(५) एक सम्बन्धके रूपमे - जैसन कि नीचे क्रमित युग्मके समुच्चयके रूपमे दर्शावल गेलै हे ।

$f=\{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots \}$

(६) दोसरा फलनके फलनके रूपमें (जैसे व्युक्रम या इनवर्स फलन)

: $f=(g^{\prime }\circ h)^{-1}$

इहो देखी

• परतन्त्र आउ स्वतन्त्र चर
• प्रतिचित्रण

बाहरी कड़ी

• The Wolfram Functions Site gives formulae and visualizations of many mathematical functions.
• Shodor: Function Flyer, interactive Java applet for graphing and exploring functions.
• xFunctions, a Java applet for exploring functions graphically.
• Draw Function Graphs, online drawing program for mathematical functions.
• Functions from cut-the-knot.
• Function at ProvenMath.
• Curvas.