रेखा

तीन रेखाके समीकरण आउ ग्राफ : लाल रेखा आउ नीली रेखा परस्पर समानान्तर हे ।

सरल रेखा गणितमे शून्य चौड़ाई वाला अनन्त लम्बाई वाला एक आदर्श वक्र होवहे, युक्लिडीय ज्यामिति (Euclidean Geometry) के अन्तर्गत दु बिन्दुसे होके एक आउ केवल एके रेखा जा सकहे । एक सरल रेखा दु बिदुके बीचके लघतुत्तम दूरी प्रदर्शित करहे । सरल रेखा बिन्दुके सरलतम बिन्दुपथ होवहे ।

कौनो द्वी-विमीय समतल पर दु सरल रेखा या त समानान्तर होत अथवा प्रतिछेदी । एही प्रकार त्रिविममे दु रेखा परस्पर समानान्तर, प्रतिछेदी या स्क्यु (न प्रतिछेदी नहिये समानान्तर) हो सकहे ।

विभिन्न पद्धतिमे सरल रेखा

एके सरल रेखाके तीन अलग-अलग रूपवाला समीकरणसे निरूपित कैल गेलहे:
$\scriptstyle {y=kx+b,\;{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1}$ तथा $\scriptstyle {x\cos \theta +y\sin \theta -p=0}$.

कार्तीय पद्धतिमे

• बिन्दु $P_{0}(x_{0}|y_{0})$ से जायेवाला आउ x-अक्षसे $\alpha$ कोण बनावेवाला रेखाके समीकरण:

$y=y_{0}+\tan(\alpha )\cdot (x-x_{0})$

• उपरोक्त समीकरणके निम्नलिखित ढङ्गोसे लिख सकही (m के रेखाके प्रवणता (स्लोप) कहल जाहे) ।

$y=y_{0}+m\cdot (x-x_{0})$

उदाहरण

बिन्दु $A=(-5,3)$ से होके जायेवाला सरल रेखा जेकर प्रवणता $m=2$ हे:

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\!$

$y-3=2(x-(-5))\!$

$y-3=2(x+5)\!$

$y-3=2x+10\!$

$y-2x-3-10=0\!$

$y-2x-13=0\!$

• दु बिन्दु $P_{1}(x_{1}|y_{1})$ आउ $P_{2}(x_{2}|y_{2})$ जे होके जायेवाला रेखाके समीकरण ($x_{1}\neq x_{2}$):

$y=y_{1}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot (x-x_{1})$

एकरे एहु प्रकार लिख सकही -

$y=y_{1}{\frac {x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}+y_{2}{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

एकरे सारणिक (डिटर्मिनाण्ट) रूपमे निम्नलिखित प्रकारसे लिखल जा सकहे -

${\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0$

• यदि कौनो रेखा x अक्ष पर $a$ y-अक्ष पर $b$ खण्ड काटहे त ओकर समीकरण-

${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1\!$.

• सरल रेखाके सामान्य समीकरण (general equation):

$Ax+By+C=0\!$ जन्ने $A,B,C\in \mathbb {R} \!$ आउ $B\neq 0\!$,

• प्राचलके रूप (parametric form) मे -

${\begin{cases}x=x_{0}+a_{x}t,\\y=y_{0}+a_{y}t,\end{cases}}$

ध्रुवीय पद्धतिमे

ध्रुवीय निर्देशाङ्क (r, θ)

, आउ कार्तीय निर्देशाङ्कमे सम्बन्ध निम्नलिखित समीकरणसे दर्शावल जा सकहे -

$x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .$

अतः यदि कौनो रेखा मूल बिन्दु (0, 0)

से होके नै जाये त ओकर ध्रुवीय समीकरण निम्नलिखित होत -

$r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},$

जन्ने r > 0

आउ $\varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.$ एहाँ,  p

ऊ रेखाके मूल बिन्दुसे दूरी (सदा धनात्मक) आउ $\varphi$ ऊ कोण हे जे मूल बिन्दुसे रेखा पर डालल गेल लम्ब, x-अक्षसे बनावहे ।

सदिश रूपमे

यदि कौनो रेखा ${\vec {r}}_{0},$ से होके जाहे आउ इकाई सदिश ${\vec {u}}.$ के समान्तर हे त ओकर समीकरण निम्नलिखित होत -

${\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+t{\vec {u}}.$

जन्ने $t$ कौनो वास्तविक सङ्ख्या हे ।

त्रिविम ज्यमितिमे

अन्तरिक्षमे कौनो बिन्दु $(x_{1},\;y_{1},\;z_{1})$ से जायेवाला सरल रेखाके समीकरण

${\begin{cases}x=x_{0}+t\alpha ,\\y=y_{0}+t\beta ,\quad t\in \mathbb {R} \\z=z_{0}+t\gamma ,\end{cases}}$

वास्तवमे त्रिबिम अन्तरिक्षमे सरल रेखाके दु समतलके प्रतिच्छेदके रूपमे देखल जाहे । अतः निम्नलिखित दु समीकरण सम्मिलित रूपसे एक रेखाके समीकरण हे -

३ चरमे दु एकघातीय समीकरण

$\left\{{\begin{matrix}x&+y&+z&=4\\x&-y&+3z&=7\end{matrix}}\right.$

• वास्तवमे उपरोक्त दु समीकरण आलगे-अलगे दु समतलके निरूपित करहे ।

इहो देखी

• रैखिक समीकरण