रैखिक समीकरण निकाय

तीन चर वाला कौनो रैखिक समीकरण निकाय वस्तुतः तीन समतल (plane) के समुच्चय हे । ईसभ समतलके कटान बिन्दुये ई रैखिक निकायके 'हल' कहला हे ।

गणितमे (आउ विशेषतः रैखिक बीजगणितमे) समान अज्ञात राशिवाला रैखिक समीकरणके समुच्चयके रैखिक समीकरणके निकाय कहल जाहे ।

उदाहरण लागि,

${\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}$

तीन चर राशि x, y, z मे तीन समीकरणके एक निकाय हे । कौनो रैखिक निकायके चरके स्थान पर जे सङ्ख्यात्मक मान रखे पर ऊ सभ समीकरण एके साथे सन्तुष्ट होवहे, सङ्ख्याके ऊ समुच्चयेके ऊ 'समीकरण निकायके हल' कहल जाहे । ऊपरे देल गेल समीकरणके निकायके हल ई हे:

${\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}$

काहेकि x, y आउ z के ई मान उपरोक्त तीनो समीकरणके सन्तुष्ट करहे । "निकाय" (system) ई बातके सङ्केत करहे कि सभ समीकरणके एक साथ विचार करेला हे, अलग-अलग नै ।

रैखिक समीकरणके निकायके हल निकालल गणितके सबसे पुरान कर्ममे से एक हे । बड्डीमनी क्षेत्रके समस्याके हल करैत खन्नि रैखिक समीकरण निकायसे सामना होवहे । जैसे आङ्किक सङ्केत प्रसंस्करण, रैखिक इष्टतमकरण । अरैखिक गणितीय समस्याके रेखीकरणोसे रैखिक समीकरण निकाय प्राप्त होवहे । इनका हल करेला गाउसके विलोपन विधि, चोलेस्की अपघटन (Cholesky decomposition) या LU अपघटन द्वारा दक्षतापूर्वक हल कैल जा सकहे । सरल स्थितिमे क्रमेरके नियम काममे लावल जा सकहे ।

सामान्यीकरणके दृष्टिसे n अज्ञात राशिमे m रैखिक समीकरणके निकाय निम्नलिखित ढङ्गसे लिखल जा सकहे -

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{matrix}}$

भेक्टर स्वरूप

उपरोक्त समीकरण निकायके निम्नलिखितो प्रकारसे लिखल जा सकहे:

$x_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+x_{2}{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

मेट्रिक्स स्वरूप

भेक्टर रूपमे निरूपित उपरोक्त समीकरणके मेट्रिक्स गुणनके प्रयोग करैत निम्नलिखित अत्यन्त सङ्क्षिप्त रूपोमे लिखल जा सकहे ।

$A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

जन्ने

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

रैखिक समीकरण निकायके हल करे एवं अन्य कार्यला उपरोक्त समीकरणमे आएल गुणाक $a_{ij}$ के एक आव्यूह (मेट्रिक्स) $A,$ के रूपमे रखल बड्डी सुविधाजनक रहहे । ई मेट्रिक्सके गुणाङ्काव्यूह (cofficient matrix) कहल जाहे । एही प्रकार अज्ञात राशिके एक भेक्टर मेट्रिक्स (x) के रूपमे लेल जाहे आउ समीकरणमे आएल सभ चर-विहीन पदोके भेक्टर मेट्रिक्स b के रूपमे लेल जाहे ।

किन्तु समीकरणके हल आदि निकालैत खन्नि सभ समीकरणके अज्ञात राशि सहित लिखेके आवश्यकता नै होत । वास्तवमे सभ गणितीय सङ्क्रिया A आउ bए पर कैल जाहे । अतः ई दुनोके एकसाथे मिलाके प्रवर्धित गुणाङ्क आव्यूह (augmented cofficient matrix) लिखल आउ ओकरा साथे काम कैल अधिक उपयुक्त रहहे । प्रवर्धित गुणाण्क आव्यूह नीचे लिखल हे:

$\left({\begin{array}{c|c}A&b\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)$

क्रेमरके नियम

मुख्य लेख: क्रेमर-नियम

रैखिक समीकरणके निकायके हल निकलेला बरिस १७५० मे क्रेमर एक प्रत्यक्ष विधि (direct method) बतौलक । ई गुणाण्क मेट्रिक्सके व्युत्क्रमण (इन्वर्सन) पर आधारित हे ।

मानली n अज्ञात राशिवाला एक रैखिक समीकरण निकायके हल निकालेला हे । मेट्रिक्स रूपे लिखेपर ई समीकरण निकाय ई प्रकार हे:

$Ax=b\,$

$(1)\,$

क्रेमरके नियमके अनुसार $x_{i}$ के मान निम्नलिखित सूत्रसे निकालल जैतै:

$x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n\,$

जन्ने $A_{i}$ ऊ मेट्रिक्स हे जे $A$ के i'मा स्तम्भके स्थान $b$ के अवयवके रखसे प्राप्त होवहे ।

उदाहरण (१)

${\begin{matrix}\color {blue}{4}\,\color {black}x_{1}+\color {blue}{2}\,\color {black}x_{2}=\color {OliveGreen}{24}\\\color {blue}{2}\,\color {black}x_{1}+\color {blue}{3}\,\color {black}x_{2}=\color {OliveGreen}{16}\end{matrix}}$

$x_{1}={\frac {\det(A_{1})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {OliveGreen}{24}&\color {blue}{2}\\\color {OliveGreen}{16}&\color {blue}{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{4}&\color {blue}{2}\\\color {blue}{2}&\color {blue}{3}\end{vmatrix}}}={24\cdot 3-16\cdot 2 \over 8}={40 \over 8}=5$

$x_{2}={\frac {\det(A_{2})}{\det(A)}}={\frac {\begin{vmatrix}\color {blue}{4}&\color {OliveGreen}{24}\\\color {blue}{2}&\color {OliveGreen}{16}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\color {blue}{4}&\color {blue}{2}\\\color {blue}{2}&\color {blue}{3}\end{vmatrix}}}={4\cdot 16-2\cdot 24 \over 8}={16 \over 8}=2$

उदाहरण (२)

$3x+2y+1z=1\,$

$2x+0y+1z=2\,$

$-1x+1y+2z=4\,$

मेट्रिक्स रूपमे लिखेपर:

${\begin{bmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\4\end{bmatrix}}$

$x,y,z$ के मान ई होत:

$x={\frac {\begin{vmatrix}1&2&1\\2&0&1\\4&1&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad y={\frac {\begin{vmatrix}3&1&1\\2&2&1\\-1&4&2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}};\quad z={\frac {\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&2\\-1&1&4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}3&2&1\\2&0&1\\-1&1&2\end{vmatrix}}}$

इहो देखी

• रैखिक बीजगणित