लोपितालके नियम

गियोम द लोपितालके सम्मानमे ई नामकरण कैल गेल ।

कलनमे लोपितालके नियम के सहायतासे अनिर्धार्य रूप वाला फलनके सीमान्त मान ज्ञात कैल जाहे । एकर अनुप्रयोगसे अनिर्धार्य रूप वाला फलन कौनो ऐसन व्यञ्जकमे परिवर्तित हो जाहे जेकरामे सीमा चरके रखके मान प्राप्त कैल जा सकहे ।

ई नियमके नामकरण १७मा शताब्दीके फ्रान्सीसी गणितज्ञ गियोम द लोपितालके सम्मानमे कैल गेल ।) ऊ ई नियम १६९६ मे अपन पुस्तक एनालिसिस् डेस् इन्फिनिमेण्ट् पटिटस् पाॅर् एल्-इण्टेलिजेन्स् डेस् लिग्नेस् कुर्बेस् (शाब्दिक अनुवाद: वक्रीय रेखाके बुझेला अनन्तसूक्ष्मके विशलेषण) मे कैलन हल । ई पुस्तक अवकलन पर लिखल गेल प्रथम पुस्तक हल । यद्यपि ई मानल जाहे कि ई नियमके खोज सर्वप्रथम स्विस गणितज्ञ योहान बेर्नुली कैलन हल ।

अपन सरलतम रूपमे लोपिताल नियमानुसार खुलल अन्तराल I मे बिन्दु c के छोड़के अन्यत्र अवकलनीय फलन f आउ g लागि -

यदि

$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty$, आउ

$\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$   प्राप्त होवहे आउ

$g'(x)\neq 0$ जन्ने ऊ सभ x अन्तराल I मे हे जेकराला x ≠ c है

तखनि

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$.

तखनि अंश आउ हरके अवकलन प्रायः भागफलके मान दे हे अथवा एक ऐसन सीमामे परिवर्तित हो जाहे जेकर मान सीधा ज्ञात कैल जा सकहे ।

उदाहरण

• $\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}+5x}{3x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+5}{3}}={\frac {5}{3}}$

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{3}+4x^{2}+7x+9}{x^{3}+3x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+8x+7}{3x^{2}+6x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x+8}{6x+6}}={\frac {6}{6}}=1$
  हियाँ लोपिताल नियमके लगातार तीन बेर लागू कैल गेलहे । एकरा दोसर प्रकारोसे कर सकही, (x³ से ऊपरे आउ नीचे भाग देके):

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {1+4/x+7/x^{2}+9/x^{3}}{1+3/x}}={\frac {1}{1}}=1$

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{a}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots =\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{a!}}=+\infty$ — लोपिताल नियमके $a$ बेर लगावेपर;

• $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{a}}{\ln {x}}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {ax^{a-1}}{\frac {1}{x}}}=a\cdot \lim _{x\to +\infty }{x^{a}}=+\infty$ जन्ने $a>0$.

अन्य अनिर्धार्य रूपला

${\cfrac {0}{0}}$ तथा ${\cfrac {\infty }{\infty }}$ के अतिरिक्त अन्य अनिर्धार्य रूपोला आवश्यक परिवर्तन करके लोपिताल नियमके प्रयोग कैल जा सकहे । कुछ उदाहरण प्रस्तुत हे ।

• $0*\infty$ प्रकारला

एकरा ई दु विधि अपना सकही           $0*\infty ={\cfrac {0}{({\cfrac {1}{\infty }})}}={\cfrac {0}{0}}$           या         $0*\infty ={\cfrac {\infty }{({\cfrac {1}{0}})}}={\cfrac {\infty }{\infty }}$

ई उदाहरण देखी

$\lim _{x\to 0}x\cdot log(x)=\lim _{x\to 0}{\cfrac {log(x)}{({\cfrac {1}{x}})}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to 0}{\cfrac {({\cfrac {1}{x}})}{({\cfrac {-1}{x^{2}}})}}=\lim _{x\to 0}(-x)=0$

• $\infty -\infty$ प्रकारला

$\lim _{x\to \infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=$

$=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-x}}\right)\left(x-{\sqrt {x^{2}-x}}\right)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x^{2}-(x^{2}-x)}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}$

$=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {\overbrace {x} ^{\infty }}{\underbrace {x+{\sqrt {x^{2}-x}}} _{\infty }}}={\cfrac {\infty }{\infty }}$

$\lim _{x\to \infty }{\cfrac {x}{x+{\sqrt {x^{2}-x}}}}\quad {\xrightarrow {\mathrm {l'H{\hat {o}}pital} }}\quad \lim _{x\to \infty }{\cfrac {(x)'}{(x+{\sqrt {x^{2}-x}})'}}=$

$=\lim _{x\to \infty }{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2x-1}{2{\sqrt {x^{2}-x}}}}}}={\cfrac {1}{1+1}}={\cfrac {1}{2}}$