वर्गमूल

सङ्ख्याके साथ ओकर वर्गमूलके आलेख

गणितमे कौनो सङ्ख्या x के वर्गमूल (square root (${\sqrt {x}}$) या $x^{\frac {1}{2}}$) ऊ सङ्ख्या (r) होवहे जेकर वर्ग करेपर x प्राप्त होवहे; अर्थात् यदि r‍‍² = x होवे त r के x के वर्गमूल कहल जाहे ।

उदाहरण -

• १०० के वर्गमूल १० हे काहेकि १०^२ = १००
• १६ के वर्गमूल ४ हे काहेकि ४^२ = १६
• (क^२ + ख^२ + २ क ख) के वर्गमूल (क+ख) हे काहेकि (क+ख)^२ = (क^२ + ख^२ + २ क ख)

कुछ सङ्ख्याके वर्गमूल

वर्ग आउ वर्गमूल

सङ्ख्या	वर्गमूल		सङ्ख्या	वर्गमूल
1	1		121	11
4	2		144	12
9	3		169	13
16	4		196	14
25	5		225	15
36	6		256	16
49	7		289	17
64	8		324	18
81	9		361	19
100	10		400	20

गुण

• ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}\;$ जन्ने $\;0\leq a,\,0\leq b$ ।

• ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-b}}\;$ जन्ने $\;a\leq 0,\,b\leq 0$ ।

• $0\leq a<b\;\Longleftrightarrow \;0\leq {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}}$, अर्थात् वर्गमूल फलन, बढ़तहीँ जायेवाला (strictly increasing) फलन हे ।

• ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ कौनो वास्तविक सङ्ख्या $a$ लागि सत्य हे ।

• एकर विपरीत $({\sqrt {a}})^{2}=a$ केवल अऋणात्मक $a$ लागि सत्य हे ।

इतिहास

प्राचीनभारतमे कमसे कम शुल्बसूत्रके समयेसे वर्ग एवं वर्गमूलके सैद्धान्तिक एवं व्यावहारिक पक्षके ज्ञान हल । शुल्ब सूत्रके रचना ८०० ईसापूर्वसे ५०० ईसापूर्व तक बतावल जाहे किन्तु ई एकरोसे बड्ड पुरान हो सकहे । बौधायनके शुल्बसूत्रमे २ आउ ३ के वर्गमूलके बड्डी शुद्ध मान निकालेके विधि देल गेलहे । आर्यभट आर्यभटीयके खण्ड २.४ मे अनेक अङ्क वाला सङ्ख्याके वर्गमूल निकालेके विधि दे हे ।

समिश्र सङ्ख्याके प्रधान वर्गमूल

$z=re^{i\varphi }{\text{ with }}-\pi <\varphi \leq \pi ,$

त z के प्रधान वर्गमूल निम्नलिखित ढङ्गसे परिभाषित कैल जाहे -

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2} ।}

एकरा त्रिकोणमितीय फलनके रूपोमे अभिव्यक्त कर सकहथ -

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \sqrt{r \left(\cos \varphi + i \sin \varphi \right)} = \sqrt{r} \left ( \cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \right ) ।}

इहो देखी

• वर्ग
• घनमूल
• वर्गमूल निकालेके विधि

बाहरी कड़ी

• Algorithms, implementations, and more - Paul Hsieh's square roots webpage
• How to manually find a square root