शङ्कु

शङ्कु (cone) एक त्रि-आयामी (त्रिविमीय) संरचना हे, जे शीर्ष बिन्दु आउ एक आधार (आवश्यक नै कि ई आधार वृत्ते होवे) के मिलावेवाला रेखा द्वारा निर्मित होवहे । यदि कौनो शङ्कुके आधार एक वृत्त होवे त ऊ लम्ब वृत्तीय शङ्कु कहला हे । ई समान आधार आउ ऊँचाईके बेलनके १/३ भागके बराबर होवहे ।

शङ्कु रेखा खण्ड, अर्धरेखा, या ऐसन रेखा द्वारा निर्मित होवहे जे एक निश्चित बिन्दु शीर्षके एक समतलीय आधार (जेकरामे शीर्ष स्थित न होवे) के सभ बिन्दुके जोड़ेपर बनहे । शङ्कु एक त्रिविमीय संरचना हे । एक ठोस वस्तुमे ईसभ रेखा या आंशिक रेखा द्वारा बनावल गेल पृष्ठके पार्श्व पृष्ठ कहल जा हे; यदि पार्श्व पृष्ठ असम्बद्ध हे, त ई एक शङ्कुके पृष्ठ हे ।

संरचना

यदि शङ्कु शीर्षसे दुनो दिशामे असीमित रूपसे दूर तक फैलल हे, तखनि ई मामलामे एकरा कखनियो-कखनियो द्विशङ्कु कहल जा हे । एक शङ्कुके अक्ष, एक सीधा रेखा (यदि कौनो होवे) होवहे, जे शीर्षसे होके गुजरहे, जेकर कारण आधार (आउ पूरा शङ्कु) मे वृत्ताकार समरूपता होवहे ।

ज्यामितिमे सामान्य प्रयोगमे शङ्कुके लम्ब-वृत्तीय मानल जा हे, जन्ने वृत्तीयके अर्थ हे कि शङ्कुके आधार एक वृत्त हे आउ लम्बके अर्थ हे कि शङ्कुके अक्ष, आधारके केन्द्रके साथे समकोण (90 अंश) बनावहे । लम्ब-वृत्तीय शङ्कुमे एकर पार्श्व पृष्ठ आउ एक तलके प्रतिच्छेदन शङ्कु परिच्छेद कहला हे । आमतौर पर शङ्कुके आधार कौनो आकारके हो सकहे आउ शङ्कुके शीर्ष कहौँ हो सकहे (हालाँकि आमतौर पर ई मानल जा हे कि आधार सम्बद्ध हे, जेकर कारण एकर क्षेत्रफल सीमित होवहे, आउ शीर्ष आधारके बाहिरे स्थित होवहे) । लम्ब-वृत्तीय शङ्कुके अतिरिक्त तिरछा शङ्कु होवहे, जेकरामे अक्ष, आधारके केन्द्रके साथे समकोण नै बनावहोवे । ऐसन शङ्कु, जेकर आधार एक बहुभुज होवे, पिरामिड कहला हे ।

मापन आउ समीकरण

आयतन:

कौनो शङ्कुके आयतन $V$ , शङ्कुके आधारके क्षेत्रफल $A_{B}$ आउ ओकर ऊँचाई $h$ के गुणनफलके एक तिहाई होवहे ।

{\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}

आधुनिक गणितमे ई सूत्रके आसानीसे एक सामान्य समाकलन सूत्रके प्रयोग करके प्राप्त कैल जा सकहे -

{\displaystyle \int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}.}

द्रव्यमान केन्द्र:

एकसमान घनत्वके ठोस शङ्कुके द्रव्यमान केन्द्र, आधारके केन्द्रसे शीर्षके मिलावेवाला सीधी रेखा पर, आधारके केन्द्रसे एक-चौथाई दूरी पर होवहे ।

लम्ब-वृत्तीय शङ्कु:

आयतन:

त्रिज्या $r$ आउ ऊँचाई $h$ वाला लम्ब-वृत्तीय शङ्कुके आधारके क्षेत्रफल ${\displaystyle \pi r^{2}}$ होवहे, तखनि ई शङ्कुके आयतन $V$ निम्न होत-

{\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}

तिर्यक ऊँचाई:

लम्ब-वृत्तीय शङ्कुके तिर्यक ऊँचाई, शङ्कुके वक्र-पृष्ठ पर एक सीधा रेखाके माध्यमसे, शङ्कुके शीर्ष आउ आधारके वृत्तके कौनो बिन्दुके बीचके दूरी हे । ई ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ द्वारा देल जा हे, जन्ने $r$ शङ्कुके आधारके त्रिज्या हे आउ $h$ ऊँचाई हे । ई पाइथागोरीय प्रमेय द्वारा सिद्ध कैल जा सकहे ।

पृष्ठीय क्षेत्रफल:

एक लम्ब-वृत्तीय शङ्कुके वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ${\displaystyle LSA=\pi rl}$ होवहे, जन्ने $r$ शङ्कुके आधारके वृत्तके त्रिज्या आउ $l$ तिर्यक ऊँचाई हे । लम्ब-वृत्तीय शङ्कुके आधारके क्षेत्रफल ${\displaystyle \pi r^{2}}$ होवहे, तखनि ई शङ्कुके सम्पूर्ण पृष्ठ निम्न प्रकार व्यक्त कैल जा सकहे: