सङ्कलन

सङ्ख्याके कौनो क्रमके जोड़ेके सङ्क्रिया संकलन (Summation) कहला हे । एकर परिणाम योग (sum) या कुलयोग (total) कहला हे ।

प्रतीक (notation)

केपिटल सिग्मा (Capital-sigma)

ई निम्नलिखित विधिसे परिभाषित हे -

$\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}.$

एक उदाहरण-

$\sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90.$

सङ्कलनसे सम्बन्धित सर्वसमिका (Identities)

सामान्य

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$, जहाँ C एक स्थिरांक है

$\sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)$

$\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)$

$\left(\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i}\right)\left(\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}b_{j}\right)=\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i}b_{j}$

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}$

$\sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)$

$\sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)$

$\sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)$

$c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}$

बहुपद ब्यञ्जकोंके सङ्कलन

$\sum _{i=m}^{n}1=n-m+1$

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}$ (देखी हरात्मक सङ्ख्या)

$\sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}$ (देखी समान्तर श्रेणी)

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ (समान्तर श्रेणीके विशेष मामला)

$\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}$

$\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$ जन्ने $B_{k}$ एक बर्नौली सङ्ख्याके दर्शावहे ।

निम्नलिखित सूत्र $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}$ कौनो प्राकृतिक सङ्ख्या मान पर एक श्रेणी शुरू करेला सामान्यीकृतके जोड़तोड़ हे (i.e., $m\in \mathbb {N}$):

$\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))$

$\sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i$

चरघाताङ्की पदके योग

नीचेके योगमे x एक स्थिराङ्क हे जे 1 . के बराबर नै हे

$\sum _{i=m}^{n-1}x^{i}={\frac {x^{m}-x^{n}}{1-x}}$ (m < n; देखी गुणोत्तर श्रेणी)

$\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}={\frac {1-x^{n}}{1-x}}$ (1 से शुरू होवेवाला गुणोत्तर श्रेणी)

$\sum _{i=0}^{n-1}ix^{i}={\frac {x-nx^{n}+(n-1)x^{n+1}}{(1-x)^{2}}}$

$\sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}$ (विशेष स्थिति जखनि x = 2)

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}$ (विशेष स्थिति जखनि x = 1/2)

द्विपद गुणाङ्क वाला सङ्कलन (summations involving binomial coefficients)

द्विपद गुणाङ्क (ठोस गणितके एक पूरा अध्याय केवल बुनियादी तकनीकला समर्पित हे) के सम्मिलित करेवाला बड्डीमनी योग सर्वसमिका विद्यमान हे । कुछ सबसे बुनियादी निम्नलिखित हे ।

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$

$\sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor$

$\sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}$, द्विपद प्रमेय

वृद्धि दर

निम्नलिखित उपयोगी सन्निकटन हे, (थीटा प्रतीकके प्रयोग करके):

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})$ −1 से अधिक वास्तविक c लागि

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)$ (देखी हरात्मक सङ्ख्या)

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})$ वास्तविक c लागि 1 से बड़

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक c लागि

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक c, d लागि

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक लागि b> 1, c, d

बाहरी कड़ी

• Derivation of Polynomials to Express the Sum of Natural Numbers with Exponents