सदिश कलन वा सदिश विश्लेषण (Vector calculus / vector analysis) गणितके ऊ विधा हे जे सदिश राशिके वास्तविक विश्लेषण (real analysis) से सम्बन्ध रखहे ।
एकर अन्तर्गत बड्डीमनी समस्या हल करेके विधि एवं सूत्र आवहे जे कि प्रौद्योगिकी एवं विज्ञानमे बड्डी उपयोगी हे । अमेरिकी वैज्ञानिक एवं इञ्जीनियर विलार्ड गिब्स (J. Willard Gibbs) एवं ब्रिटिश इञ्जीनियर हेवीसाइड (Oliver Heaviside) ई क्षेत्रके अग्रदूत रहलन ।
सदिश विश्लेषण अदिश क्षेत्र एवं सदिश क्षेत्र के साथे गहरा सम्बन्ध हे ।
अदिश क्षेत्रः (scalar field) के प्रत्येक बिन्दुके साथे एक अदिश राशि सम्बन्धित होवहे । जखनिकि
सदिश क्षेत्र (vector field) के प्रत्येक बिन्दु पर एक सदिश राशि जुड़ल होवहे ।
उदाहरण केहु तालाबके तापमान एक अदिश क्षेत्र हे काहेकि एकर अन्तर्गत प्रत्येक बिन्दु पर एक अदिश राशि - तापमानके अस्तित्व हे । एकर विपरीत यदि तालाबके पानी गतिशील हे त एकर हरेक बिन्दु पर जलके वेग एक सदिश क्षेत्र हे ।
सदिश विश्लेषणके चार प्रमुख सङ्क्रिया (Operations) (कार्तीय निर्देशाङ्कमे) नीचे देल गेलहे । ई सङ्क्रिया सदिश या अदिश क्षेत्रके उपर डेल् ऑपरेटर (
∇
{\displaystyle \nabla }
grad
φ
=
∇
→
φ
=
(
∂
φ
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
φ
∂
z
)
{\displaystyle \operatorname {grad} ~\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[0.2cm]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\[0.2cm]{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}}
div
F
→
=
∇
→
⋅
F
→
=
∂
F
x
∂
x
+
∂
F
y
∂
y
+
∂
F
z
∂
z
{\displaystyle \operatorname {div} ~{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}
rot
F
→
=
∇
→
×
F
→
=
(
∂
F
z
∂
y
−
∂
F
y
∂
z
∂
F
x
∂
z
−
∂
F
z
∂
x
∂
F
y
∂
x
−
∂
F
x
∂
y
)
{\displaystyle \operatorname {rot} ~{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[0.2cm]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[0.2cm]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}}
ई एक द्वितीय ऑर्डरके डिफरेन्सियल सङ्क्रिया हे । त्रि-बिमीय कार्तीय निर्देशाङ्क तन्त्रमे एकरा ई प्रकार परिभाषित कैल गेलहे:
Δ
=
∇
2
=
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}
प्वासके समीकरण (Poisson's equation)
∇
2
φ
=
f
{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi =f}
तनाएल डोरके कम्पन
∇
2
φ
(
x
,
y
,
z
,
t
)
=
1
c
2
⋅
∂
2
φ
(
x
,
y
,
z
,
t
)
∂
t
2
{\displaystyle {\nabla }^{2}\varphi (x,y,z,t)={\frac {1}{c^{2}}}\cdot {\frac {\partial ^{2}\varphi (x,y,z,t)}{\partial t^{2}}}}
सङ्क्रिया (Operation) प्रकट करेके विधि व्याख्या क्षेत्र/परास (Domain/Range)
ग्रेडिएण्ट (Gradient)
grad
(
f
)
=
∇
f
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}
एक अदिश क्षेत्रमे परिवर्तनके दर आउ दिशाके नापहे । सदिश क्षेत्रके अदिश क्षेत्रमे मैप करहे ।
कर्ल (Curl)
curl
(
F
)
=
∇
×
F
{\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }
सदिश क्षेत्रमे केहु बिन्दुके चारो दन्ने घूमेके प्रवृत्तिके नापहे । सदिश क्षेत्रके सदिश क्षेत्रमे मैप करहे ।
डाइवरजेन्स (Divergence)
div
(
F
)
=
∇
⋅
F
{\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }
सदिश क्षेत्रमे केहु देल बिन्दु पर स्रोत या कुण्डके परिमाणके नापहे । सदिश क्षेत्रके अदिश क्षेत्रमे मैप करहे ।
लाप्लासके ऑपरेटर (Laplace operator)
Δ
f
=
∇
2
f
=
∇
⋅
∇
f
{\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}
विचलन आउ ढाल सञ्चालनके एक रचना । अदिश क्षेत्रके अदिश क्षेत्रमे मैप करहे ।
Theorem Statement Description
ग्रेडिएण्ट प्रमेय (Gradient theorem)
φ
(
q
)
−
φ
(
p
)
=
∫
L
∇
φ
⋅
d
r
.
{\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} .}
एक ग्रेडिएण्ट (सदिश) क्षेत्रसे गुजरेवाला रेखा समाकल वक्रके अन्त बिन्दु पर ओकर अदिश क्षेत्रके अन्तरके बराबर होवहे ।
ग्रीनके प्रमेय (Green's theorem)
∫
C
L
d
x
+
M
d
y
=
∬
D
(
∂
M
∂
x
−
∂
L
∂
y
)
d
A
{\displaystyle \int _{C}L\,dx+M\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
समतलमे केहु क्षेत्र पर सदिश क्षेत्रके अदिश कर्लके समाकलन, क्षेत्रके परिबद्ध करेवाला वक्र पर सदिश क्षेत्रके रेखा समाकलनके बराबर होवहे ।
स्टोकके प्रमेय (Stokes' theorem)
∫
Σ
∇
×
F
⋅
d
Σ
=
∮
∂
Σ
F
⋅
d
r
,
{\displaystyle \int _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,}
कौनो सतह पर सदिश क्षेत्रके कर्लके समाकलन, सतहके परिबद्ध करेवाला वक्र पर सदिश क्षेत्रके रेखा समाकलनके बराबर होवहे ।
डाइवर्जेन्स प्रमेय (Divergence theorem)
∭
V
(
∇
⋅
F
)
d
V
=
∬
∂
V
F
⋅
d
S
,
{\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} ,}
केहु ठोस पर सदिश क्षेत्रके विचलनके समाकलन, ठोसके घेरेवाला सतहसे होके गुजरेवाला फ्लक्सके समाकलनके बराबर होवहे ।
g
r
a
d
→
f
=
∂
f
∂
r
u
r
→
+
1
r
∂
f
∂
θ
u
θ
→
+
∂
f
∂
z
u
z
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {grad} }}f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {u_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\vec {u_{\theta }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {u_{z}}}}
d
i
v
A
→
=
1
r
∂
∂
r
(
r
A
r
)
+
1
r
∂
A
θ
∂
θ
+
∂
A
z
∂
z
{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rA_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}
c
u
r
l
→
A
→
=
(
1
r
∂
A
z
∂
θ
−
∂
A
θ
∂
z
)
u
r
→
+
(
∂
A
r
∂
z
−
∂
A
z
∂
r
)
u
θ
→
+
1
r
(
∂
∂
r
(
r
A
θ
)
−
∂
A
r
∂
θ
)
u
z
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {curl} }}{\vec {A}}=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right){\vec {u_{r}}}+\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial r}}\right){\vec {u_{\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\theta })-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\vec {u_{z}}}}
Δ
f
=
1
r
∂
∂
r
(
r
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
∂
2
f
∂
θ
2
+
∂
2
f
∂
z
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}
g
r
a
d
→
f
=
∂
f
∂
r
u
r
→
+
1
r
∂
f
∂
θ
u
θ
→
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
φ
u
φ
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {grad} }}f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {u_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\vec {u_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {u_{\varphi }}}}
d
i
v
A
→
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
A
r
)
+
1
r
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
A
θ
)
+
1
r
sin
θ
∂
A
φ
∂
φ
{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}}
c
u
r
l
→
A
→
=
1
r
sin
θ
(
∂
∂
θ
(
sin
θ
A
φ
)
−
∂
A
θ
∂
φ
)
u
r
→
+
(
1
r
sin
θ
∂
A
r
∂
φ
−
1
r
∂
∂
r
(
r
A
φ
)
)
u
θ
→
+
1
r
(
∂
∂
r
(
r
A
θ
)
−
∂
A
r
∂
θ
)
u
φ
→
{\displaystyle {\vec {\mathrm {curl} }}{\vec {A}}={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\varphi })-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\vec {u_{r}}}+\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\varphi })\right){\vec {u_{\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\theta })-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\vec {u_{\varphi }}}}
Δ
f
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
f
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
f
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
f
∂
φ
2
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}
Michael J. Crowe (1994). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System . Dover Publications; Reprint edition. ISBN 0-486-67910-1 . Summary )H. M. Schey (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus . W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-92516-1 . J.E. Marsden (1976). Vecor Calculus . W. H. Freeman & Company. ISBN 0-7167-o462-5.
![{\displaystyle \operatorname {grad} ~\varphi ={\vec {\nabla }}\varphi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[0.2cm]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\[0.2cm]{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4aa1f94c5bc091e5cf3c1098785126737e8d20)
![{\displaystyle \operatorname {rot} ~{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[0.2cm]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[0.2cm]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2c7b3d6eeb7a8c4512efeb829b31da1a2594256)
