सदिश बीजगणित

सदिश बीजगणित (वेक्टर अल्जेब्रा) के अन्तर्गत सदिश राशिके योग, गुणन आदिके अध्ययन कैल जा हे ।

सदिशके परिमाण

यदि त्रिविम युक्लिडीय स्पेसमे एक सदिश ${\overrightarrow {\mathbf {a} }}$ = a₁e₁ + a₂e₂+ a₃e₃ हे (जन्ने e₁, e₂, e₃ लम्ब इकाई सदिश हे), त सदिशके परिमाण निम्नलिखित रूपसे ज्ञात कैल जैतै-

\left\|{\overrightarrow {\mathbf {a} }}\right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}

एकर अतिरिक्त केहु सदिश राशिसे ओकर अदिश गुणनफलके परिमाणके वर्गमूल लेवेपर ऊ सदिशके मान निकालल जा सकहे ।

\left\|{\overrightarrow {\mathbf {a} }}\right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}

सदिश योगके नियम

मानी कि ${\overrightarrow {\mathbf {a} }}$ =a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ एवं ${\overrightarrow {\mathbf {b} }}$ =b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃, हे जन्ने e₁, e₂, e₃ लम्ब इकाई सदिश हे ।

तो ${\overrightarrow {\mathbf {a} }}$ एबं ${\overrightarrow {\mathbf {b} }}$ का योगफल निम्नलिखित होगा-

{\overrightarrow {\mathbf {a} }}+{\overrightarrow {\mathbf {b} }}=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e_{1}} +(a_{2}+b_{2})\mathbf {e_{2}} +(a_{3}+b_{3})\mathbf {e_{3}}

सदिशके अन्तर

यदि

{\overrightarrow {\mathbf {a} }}

=a₁e₁ + a₂e₂ + a₃e₃ एवं

{\overrightarrow {\mathbf {b} }}

=b₁e₁ + b₂e₂ + b₃e₃ होवे त-

सदिश ${\overrightarrow {\mathbf {a} }}$ आउ ${\overrightarrow {\mathbf {b} }}$ के अन्तर निम्नलिखित होत -

{\overrightarrow {\mathbf {a} }}-{\overrightarrow {\mathbf {b} }}=(a_{1}-b_{1})\mathbf {e_{1}} +(a_{2}-b_{2})\mathbf {e_{2}} +(a_{3}-b_{3})\mathbf {e_{3}}

सदिशके वियोजन

केहु सदिशके दु या दु से अधिक सदिशके योगके रूपमे निरूपित कैल जा सकहे । स्पष्टतः ऐसन अनन्त विधिसे कैल जा सकहे । किन्तु कौनो देल सदिशके केहु दु दिशामे वियोजन मात्र एके प्रकारसे कैल जा सकहे । प्रायः देल दु दिशा परस्पर लम्बवत होवहे जैसन कि चित्रमे देखावल गेलहे ।

सदिश् गुणन

अदिशसे गुणन

एक सदिशके एक अदिशसे गुणा कैल जाये त परिणाम एक सदिश होत जे पूर्वोक्त सदिशके दिशामे होत । उदाहरणला केहु सदिश ${\overrightarrow {\mathbf {a} }}$ के यदि एक अदिश r द्वारा गुणा कैल जाये त गुणनफल निम्नलिखित होत -

r{\overrightarrow {\mathbf {a} }}=(ra_{1})\mathbf {e_{1}} +(ra_{2})\mathbf {e_{2}} +(ra_{3})\mathbf {e_{3}}

अदिश गुणन या डॉट गुणन

पुनः दु सदिशके अदिश या डॉट गुणनफल एक अदिश राशि होवहे । दु सदिशके डॉट गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) निम्नलिखित प्रकारसे पारिभाषित हे -

{\overrightarrow {\mathbf {a} }}\cdot {\overrightarrow {\mathbf {b} }}=\langle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\rangle \cdot \langle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}

सदिश बीजगणितके सूत्र

त्रिभुज सूत्र

केहु त्रिभुजके दु संलग्न भुजा क्रमसे दु सदिशके निरूपित करे (परिणाम आउ दिशा दुनो) त त्रिभुजके तीसरा भुजा विपरीत क्रममे ई दु सदिशके योग (परिणाम आउ दिशा दुनोमे) निरूपित करत ।

बहुभुज सूत्र

दु से अधिक सदिशके ई प्रकार सजावल जाये कि प्रथम सदिशके शीर्ष पर दोसर सदिशके गोड़ होवे आउ दोसरके माथा पर तीसराके गोड़ होवे त ईसङ सदिशके योग प्रथम सदिशके पादके अन्तिम सदिशके शीर्षसे मिलावेवाला सदिशके बराबर होत ।

बिनिमय सूत्र

{\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {B}}={\overrightarrow {B}}+{\overrightarrow {A}}

बण्टन सूत्र

$m({\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {B}})=m{\overrightarrow {A}}+m{\overrightarrow {B}}$

संयोग सूत्र

$({\overrightarrow {A}}+{\overrightarrow {B}})+{\overrightarrow {C}}={\overrightarrow {A}}+({\overrightarrow {B}}+{\overrightarrow {C}})$

इहो देखी