सदिश राशि

जौन भौतिक राशिमे मात्रा (परिमाण) एवं दिशा दुनो निहित होवहे ओकरा सदिश राशि कहल जाहे । सदिश राशिके उदाहरण हे - वेग, बल, संवेग इत्यादि । जौन राशिमे खाली परिमाण होवहे ओकरा अदिश राशि कहल जाहे, जैसे - चाल, दूरी, द्रव्यमान, आयतन, ताप, समय इत्यादि ।

सदिश राशिके अदिशसे अलगे बुझेके कारण ई हे कि हमनी कखनियो-कखनियो केहु राशिके दिशाके ज्ञान कैल आवश्यक होवहे । जैसेकि जमीन पर रखल कौनो बक्सा पर बल कौन दिशामे लगैत हे आउ केत्ता लगैत हे - ई स्पष्टतया नै बतावल जाय त ई कहल कठिन हे कि बक्सा घसकत कि न । यदि हमनी बल उपरेसे नीचे दन्ने लगावी त बक्सा केत्तो बल लगावेसे नै घसकत । पर यदि हमनी एकर क्षैतिज रूपसे लगावी त एक नियत मात्राके बलके बाद ई घसके लगत । गणित एवं भौतिक विज्ञानमे सदिशके बडी उपयोग हे ।

सदिशसे सम्बन्धित गणित

सदिश योग

दु या अधिक सदिशके योग निकालेला ज्यामितिके प्रयोग कैल जाहे । उदाहरणला सामनेके चित्रमे दु सदिशके योग निकालेला 'त्रिभुजके नियम' के प्रयोग कैल गेलहे । ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

यदि सदिश अपन घटकके रूपमे देल गेल होवे त उनकर योग घटकके योग निकालके कैल जा सकहे । मानी दु सदिश अपन n-घटकके रूपमे देल गेलहे ।

{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})

एवं

{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})

त इनकर योग ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$ निम्नलिखित होत:

{\vec {c}}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},...,a_{n}+b_{n})

सदिशके योगमे निम्नलिखित दु नियमके पालन होवहे:

क्रमविनिमेय नियम:

{\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}

साहचर्य नियम:

{\vec {a}}+\left({\vec {b}}+{\vec {c}}\right)=\left({\vec {a}}+{\vec {b}}\right)+{\vec {c}}

सदिशके व्यकलन (घटाना)

सदिशके घटाओ ओइसहीँ कैल जाहे जैसे सदिशके योग । सदिश ${\vec {a}}$ आउ सदिश ${\vec {b}}$ के अन्तर वास्तवमे सदिश ${\vec {a}}$ आउ $-{\vec {b}}$ के योगे हे । यदि सदिश अपन घटकके रूपमे देल होवे तैयो ओही प्रकारसे ओकरा घटावल जाहे:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},...,a_{n}-b_{n})

यदि देल सदिश ई होवे

{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})

आउ

{\vec {b}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})

यदि हमनी केहु सदिश ${\vec {a}}$ मे ओकर समान परिणाम किन्तु विपरीत दिशा वाला सदिश $-{\vec {a}}$ के जोड़ही त हमनीके शून्य सदिश प्राप्त होवहे, जेकर परिमाण शून्य होवहे ।

{\vec {a}}+(-{\vec {a}})={\vec {a}}-{\vec {a}}=(a_{1}-a_{1},a_{2}-a_{2},...,a_{n}-a_{n})=(0,0,...,0)=\operatorname {O}

सदिश गुणन

सदिशके कौनो सङ्ख्यासे गुणन

कौनो सदिशमे केहु सङ्ख्या (स्केलर) के गुणा कैल जाये ते परिणाममे जे सदिश भेटहे ओकर परिमाण ऊ सदिश आउ ओह सङ्ख्याके गुणनफलके बराबर होवहे जखनिकि ओकर दिशा मूल सदिशके दिशे रहहे । उदाहरणला सदिश ${\vec {a}}$ मे सङ्ख्या $k$ के गुणा करेपर परिणामी सदिशके सभ घटक मूल सदिशके सभ घटकके k गुना हो जैतै:

k\cdot {\vec {a}}=k\cdot (a_{1},a_{2},...,a_{n})=(ka_{1},ka_{2},...,ka_{n})

दु सदिशके 'सदिश गुणन'

दु सदिशके सदिश गुणनके परिणाम एक सदिश होवहे । सदिश गुणनला $\times$ चिह्नके प्रयोग कैल जाहे । सदिश गुणनसे प्राप्त सदिशके परिमाण निम्नलिखित होवहे:

\left|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\right|=\left|{\vec {a}}\right|\cdot \left|{\vec {b}}\right|\cdot \sin {\alpha }

जन्ने $\alpha$ दुनो सदिशके बीचके कोण हे । परिणामी सदिशके दिशा दुनो सदिश $\left|{\vec {a}}\right|$ और $\left|{\vec {b}}\right|$ के लम्बवत दिशामे होवहे ।

यदि दु सदिशके तीन परस्पर लम्बवत घटक देल गेल होवे, जैसे ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ आउ ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$ त उनकर सदिश गुणनके परिणामी सदिश निम्नलिखित होत:

{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}=\left({\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\right)

दु सदिशके 'अदिश गुणन'

दु सदिशके गुणा करेके एक आउ बिधि हे, जेकरा 'अदिश गुणन' (स्केलर गुणन) कहल जाहे । अदिश गुणनके परिणामस्वरुप एक अदिश राशि भेटहे, एहीसे एकर नाम 'अदिश गुणन' हे । अदिश गुणनके बिन्दु (डॉट) द्वारा दर्शावल जाहे ।