समाकलन

कलन
मूलभूत प्रमेय फलनके सीमा निरन्तरता माध्यमान प्रमेय रॉल प्रमेय
अन्तर कलन अवकलज चरके परिवर्तन अन्तर्निहित विभेदन टेलर प्रमेय सम्बन्धित दर अवकलजके सूची घात नियम गुणनके नियम भागके नियम शृङ्खला नियम
समाकलन समाकल समाकल सूची अनन्त समाकल समाकलन भागसे चक्र cylindrical shells प्रतिस्थापनसे त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन आंशिक भिन्न changing order
सदिश कलन प्रवणता डाइवर्जेन्स (अपसरण) कर्ल लाप्लास सङ्कारक प्रवणता प्रमेय ग्रीन प्रमेय स्टॉक प्रमेय अपसरण प्रमेय
बहुचर कलन मेट्रिक्स कलन आंशिक अवकलज गुणित समाकल रेखा समाकलन पृष्ठ समाकल आयतन समाकल जेकोबियन

कौनो फलनके निश्चित समाकलज ओकर ग्राफ आउ क्षैतिज अक्षसे घिरल क्षेत्रके चिह्नित क्षेत्रफल द्वारा निरूपित कैल जा सकहे ।

कौनो फलनके निश्चित समाकलज ओकर ग्राफ आउ क्षैतिज अक्षसे घिरल क्षेत्रके चिह्नित क्षेत्रफल द्वारा निरूपित कैल जा सकहे । उदाहरणतः ऊपरे देल ग्राफमे, $f(x)$ के समाकलज पियर (-) क्षेत्र द्वारा घटावल गेल नील (+) क्षेत्र हे ।

इण्टीग्रल, एनीमेशन का हे

कलनमे समाकलज एक सङ्कलनके सतत अनुरूप होवहे, जेकर प्रयोग क्षेत्रफल, आयतन आउ ओकर सामान्यीकरणके गणना करेला कैल जाहे । समाकलन समाकलजके गणनाके प्रक्रिया, कलनके दु मूलभूत प्रक्रियामे से एक हे, दोसर अवकलन हे । गणित आउ भौतिकशास्त्रमे समस्याके हल करेला एक विधिके रूपमे समाकलन शुरू भेल, जैसे वक्रके नीचे क्षेत्रफल खोजेला, या वेगसे विस्थापनके निर्धारण । वर्तमान समाकलनके प्रयोग विभिन्न प्रकारके वैज्ञानिक क्षेत्रमे कैल जाहे ।

हियाँ बतावल गेल समाकलज ऊ हे जेकरा निश्चित समाकलज कहल जाहे, जेकरा सङ्ख्या रेखामे दु बिन्दुके मध्य देल फलनके ग्राफ द्वारा समतल कैल गेल क्षेत्रके चिह्नित क्षेत्रफलके रूपमे व्याख्या कैल जा सकहे । परम्परागत रूपसे समतलके क्षैतिज अक्षके ऊपरेके क्षेत्र धनात्मक होवहे जखनिकि नीचेके क्षेत्र ऋणात्मक होवहे । समाकलनो एक प्रत्यवकलजके अवधारणाके सन्दर्भित करहे, एक ऐसन फलन जेकर अवकलज देल फलन हे । ई स्थितिमे ओकरा अनिश्चित समाकलज कहल जाहे । कलनके मूलभूत प्रमेय अवकलनके साथे निश्चित समाकलजके सम्बन्धित करहे आउ कौनो फलनके निश्चित समाकलनके गणना करेला एक विधि प्रदान करहे जखनि एकर प्रत्यवकलज ज्ञात होवे ।

निरूपण एवं शब्दावली

सामान्यतः अन्तराल $[a,b]$ पर वास्तविक चर x के सम्बन्धमे वास्तविक-मान फलन ƒ(x) के x के सापेक्ष समाकलज निम्नोल्लेखित हे:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$$

चिह्न ∫ समाकलनके प्रतिनिधित्व करहे । प्रतीक dx, जेकरा चर x के अवकलज कहल जाहे, इङ्गित करहे कि समाकलनके चर x हे ।

फलन f(x) के समाकल्य कहल जाहे, बिन्द्व a आउ b के समाकलनके सीमा कहल जाहे, आउ समाकलजके अन्तराल [a, b] के ऊपरे कहल जाहे, जेकरा समाकलनके अन्तराल कहल जाहे । एक फलनके पूर्णाङ्क कहल जाहे यदि एकर प्रभावक्षेत्र पर एकर अभिन्न परिमित हे । यदि सीमा निर्दिष्ट हे, त समाकलजके निश्चित समाकलज कहल जाहे ।

जखनि सीमाके लोप होवहे -

$$\int f(x)\,\mathrm {d} x$$

तखनि समाकलजके एक अनिश्चित समाकलज कहल जाहे, जे फलनके एक वर्ग (प्रत्यवकलज) के प्रतिनिधित्व करहे जेकर अवकलज समाकल्य हे । कलनके मूलभूत प्रमेय निश्चित समाकलजके मूल्याङ्कनके अनिश्चित समाकलजसे सम्बन्धित करहे ।

गुणधर्म

रैखिकता

समाकलनीय फलनके सङ्ग्रह रैखिक संयोजनके तहत बन्द हे, आउ एक रैखिक संयोजनके समाकलज, ओकर समाकलजके रैखिक संयोजन हे:

$\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,$

समाकलनके विधि

चर परिवर्तन करके समाकलन कैल

मुख्य लेख: प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन

$\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t.$

खण्डशः समाकलन

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x.$

विभिन्न प्रकारके समाकल

$\int f(x)dx$ – अनिश्चित समाकल (indefinite intergal)

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ – निश्चित समाकल (Definite integral)

$\int \limits _{-\infty }^{0}f(x)dx$ – अनन्त समाकल improper integral (=infinite integral)

$\int \limits _{E}f(x)dx$ – लेबेग समाकल (Lebesgue integral)

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\;dS$ – पृष्ठ समाकल (surface integral)

$\oint \limits _{S}f(x,y)\;dl$ – कौनो बन्द वक्रके सापेक्ष वक्ररेखी समाकल

इहो देखी

• समाकल सूची
• अवकलन
• निश्‍चित समाकलके सूची

बाहरी कड़ी

• Riemann Sum by Wolfram Research
• Introduction to definite integrals by Khan Academy
• Integrais por Só Matemática
• Integral Calculus by Duke University Physics Department

आनलाइन पुस्तकें

• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Warner, Stefan y Costenoble, Steven R., Matemáticas Finitas y Cálculo Aplicado 7e, libro en linea
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Cuartas, Roberto, Cálculo Integral, Tareas Pkus, libro y curso en linea
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Rudolph, Dennis, Integral-Rechnung / Integrieren Übersicht, Mathematik Übersicht von Projekt Frustfrei-Lernen.de, Online-Lehrbuch
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques