सारणिक

सारणिक सम्पादन

सारणिक (Determinant) एक विशिष्ट प्रकारके बीजीय व्यञ्जक हे (वस्तुतः बहुपद) जेकरामे प्रयुक्त कैल गेल राशि अथवा अवयवके सङ्ख्या (पूर्ण) वर्ग रहहे । ईसभ राशिके प्रायः एक वर्गाकार विन्यासमे लिखके ओकरा अगल-बगल दु ऊर्ध्वाधर सीधा रेखा खीँच देल जाहे, n अवयव वाला सारणिकके nमा क्रम (nth order) के सारणिक कहल जाहे ।

मेट्रिक्स A के सारणिकके det(A), det A, या |A| से निरूपित कैल जाहे । जन्ने मेट्रिक्सके अवयव पूर्णतः लिखल होवे, त सङ्गत सारणिकके देखवेला बड़ कोष्टकके स्थाने दु ऊर्ध्व रेखासे घेर देल जाहे । उदाहरणला मेट्रिक्स

${\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}$ के सारणिक ई प्रकार लेल जाहे: ${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}$

आउ एकर मान $aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh\,$ हे ।

सारणिक व्यूह सिद्धान्तके आत्मा हे; एकर प्रयोगसे समीकरण समूहके वर्गीकरण कैल जा सकहे कि अमुक समूहके हल सम्भव होत कि नै आउ हल यदि सम्भव हे त केत्ता हल हो सकहे । उच्च बीजगणितके एक प्रमुख आउ मौलिक महत्ताके अङ्ग सारणिक हे; आउ प्रायः गणितके प्रत्येक शाखामे एकर प्रत्येक होवहे । कलनमे एकसे अधिक चरके प्रतिस्थान (substitution rule) से सम्बन्धित नियम लिखेमे सारणिकके प्रयोग होवहे ।

सारणिकके रूपान्तरण

विस्तार करके अथवा तनी सुन विचारसे निम्न नियमके सत्यता प्रमाणित कैल जा सकहे :

1. स्तम्भ-पङ्क्ति-परिवर्तन-सभ स्तम्भके पङ्क्तिमे ई प्रकार परिवर्तित करेसे कि mमा स्तम्भ बदलके mमा पङ्क्ति बन जाये, सारणिकके मान नै बदले । विलोमतः पङ्क्तिके स्तम्भमे पूर्वोक्त नियमके अनुसार बदलहुँसे सारणिकके मानमे कौनो परिवर्तन नै होबे । ई नियमसे स्पष्ट हे कि जे नियम पङ्क्तिला लागू हे ओइसहीँ नियम स्तम्भोला लागू होत, एहीसे आगेके नियम खाली पङ्क्तियेला देल जैतै ।
2. सारणिकके कौनो राशिसे गुणा कैल - सारणिकके कौनो एक स्तम्भके सभ अवयवके राशि क से गुणा करेके परिणाम सारणिकके मानके क से गुणा कैल हे ।
3. कौनो स्तम्भके दु स्तम्भमे खण्डन- शब्दके अपेक्षा ई नियमके तीसरा क्रमके सारणिकसे उद्धृत कैल अधिक सुगम हे :
4. दु स्तम्भके (परस्पर) विनियम - सारणिकके केहु दु स्तम्भके आपसमे बदलेसे सारणिकके मान पूर्वमानके -1 गुना हो जाहे ।
5. 'सारणिकके शून्यमान' - यदि केहु सारणिकके एक स्तम्भके अवयव केहु अन्य स्तम्भके अवयवसे क्रमानुसार एके अनुपातमे होवे त सारणिकके मान शून्य होवहे ।

दु सारणिकके गुणनफल

एके क्रमके दु सारणिकके गुणनफल ओही क्रमके सारणिक होवहे ।

यदि हमनी R₁ के ले ही त R₁ के सभ पङ्क्तिके छोड़ देब आउ बचल पङ्क्ति आउ स्तम्भसे गुणा करब ।

ऐतिहासिक

सारणिकके आविष्कारक जी डब्ल्यू लाइवनिज के मानल जाहे; ऊ १६९३ मे जापानी गणितज्ञ सेकी कोवा लगभग ऐसने नियम खोज लेलन हल । लाइबनिजके ई खोजके अधिक प्रभाव नै भेल; जी क्रेमर १७५० मे सारणिकके पुनः खोज कैलन आउ अपन गवेषणाके प्रकाशितो कैलन । सारणिकके वर्तमान सङ्केतन पद्धतिके आविष्कार ए केली १८४१ ई मे कैलन हल । अनन्त क्रमके सारणिकके प्रयोग जी डब्ल्यू हिल कैलन हे ।

इहो देखी

• व्यूह या मैट्रिक्स

बाहरी कड़ी

• MIT Linear Algebra Lecture on Determinants
• Linear Systems Chapter from "Fundamental Problems of Algorithmic Algebra" Chee Yap's chapter on Linear Systems describing implementation aspects of Determinant computation.
• Mahajan, Meena and V. Vinay, “Determinant: Combinatorics, Algorithms, and Complexity”, Chicago Journal of Theoretical Computer Science, v. 1997 article 5 (1997).
• Online Matrix Calculator Online Matrix calculator.
• Linear algebra: determinants. Compute determinants of matrices up to order 6 using Laplace expansion you choose.