सीमा (गणित)

गणितमे सीमा (limit) के सङ्कल्पना एक अत्यन्त मौलिक सङ्कल्पना हे । सीमाके सङ्कल्पनाके विकासके परिणामस्वरूपे कलनके जन्म सम्भव भेल । सीमाके प्रयोग कौनो फलनके अवकलज निकाले एवं कौनो फलनके कौनो बिन्दु पर सातत्य (continuity) के परीक्षणमे होवहे ।

गणितमे सीमाके दु अर्थ हे -

1. कौनो फलनके सीमा
2. कौनो श्रेढीके सीमा ।

कौनो फलनके सीमा

अनन्त पर फलनके सीमा

जखनि ऊ फलनके कौनो स्वतन्त्र चर कौनो देल मानके अत्यन्त निकटवर्ती मान धारण करहे, ऊ स्थितिमे फलनके मान ऊ फलनके सीमा कहला हे । ध्यान रहे कि अत्यन्त निकटवर्ती मान बड़ी महत्वपूर्ण हे काहेकि स्वतन्त्र चर राशिके कुछ मानला फलनके मान अगणनीय (indeterminate) हो सकहे । स्वतन्त्र चरके मान यादृच्छ रूपसे (arbitrarily) बड़ होवेके स्थितिमे फलनके मानके चर राशिके अनन्त दन्ने अग्रसर होवेपर फलनके सीमा कहल जाहे ।

कौनो श्रेढीके सीमा

कौनो श्रेढीके सूचकाङ्क (index) अनन्त रूपसे बड़ होवेके दशामे ओकर पद (terms) के रूझान जौन मान दन्ने होवहे, ओकरा ऊ श्रेढीके सीमा कहल जाहे ।

निम्नलिखित फलनके ले ही -

$f(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}$

$x$=$1$ पर एकर मान पारिभाषित नै कैल गेलहे । किन्तु जखनि x, 1 दन्ने अग्रसर होवहे त $f(x)$ के सीमाके अस्तित्व हे । नीचेके सारणियोसे स्पष्ट हे कि $\lim _{x\to 1}f(x)=2$：

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	$\Rightarrow$ undef $\Leftarrow$	2.001	2.010	2.10

ई सारणीसे स्पष्ट हे कि जखनि $x\neq 1$ किन्तु $x$ के मान $1$ के जेत्ता निकट सोच सकही ओत्ता निकट ले जायी त $f(x)$ के मानो $2$ के अत्यन्त निकट पहुँचल जाहे ।

कुछ उदाहरण

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}=0$

$\lim _{x\to 0+}{\frac {1}{x}}=+\infty \qquad \lim _{x\to 0-}{\frac {1}{x}}=-\infty$

$\lim _{x\to 3}x^{2}=9$

$\lim _{x\to 0}x^{x}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {(a+x)^{2}-a^{2}}{x}}=2a$

$\lim _{x\to 0+}{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=1$$\lim _{x\to 0-}{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=-1$

$\lim _{x\to +\infty }x.\sin {\frac {1}{x}}=1$

$\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)-1}{x}}=0$

सीमाके गुण

• $\lim _{n\to c}b{f(n)}=b{\lim _{n\to c}f(n)}$，जन्ने b एक नियताङ्क हे ।

निम्नलिखित सम्बन्ध खाली ओही दशामे सही हे जखनि दहिना दन्नेके सीमाके अस्तित्व होवे एवं ऊ अनन्त नै हवे-

• $\lim _{n\to c}(f(n)+g(n))=\lim _{n\to c}f(n)+\lim _{n\to c}g(n)$

• $\lim _{n\to c}(f(n)-g(n))=\lim _{n\to c}f(n)-\lim _{n\to c}g(n)$

• $\lim _{n\to c}(f(n)\cdot g(n))=\lim _{n\to c}f(n)\cdot \lim _{n\to c}g(n)$

• $\lim _{n\to c}{\frac {f(n)}{g(n)}}={\frac {\lim _{n\to c}f(n)}{\lim _{n\to c}g(n)}}$，किन्तु हियाँ हर (डीनेमिनेटर) के सीमा शून्य नै होवेके चाही ।

इहो देखी

• सीमाके सूची
• एल् हास्पिटलके नियम
• सतत फलन